FUNCIONES VERITATIVAS Y TABLAS DE LA VERDAD

La lógica proposicional se utiliza para determinar la validez de argumentos, es
decir, los conectivos tratan de expresar ciertas formas típicas que el lenguaje natural utiliza para relacionar proposiciones. En tanto el cálculo proposicional es un lenguaje artificial, formal, completamente definido, en el se eliminan las ambiguedades expresivas del lenguaje natural (formas iguales de expresar relaciones diferentes entre enunciades), así como también se elimina la pluralidad de formas de expresar lo mismo
mediante formas diferentes que posee el lenguaje natural.
Es necesario, también, resaltar que no ocurre que necesariamente a cada premisa
le corresponda una letra enunciativa.
Por ejemplo, supongamos que tenemos el siguiente argumento:
Juan es mafioso
Si Juan es mafioso entonces lava dinero.
Juan lava dinero



P

p → q

q


Como vemos, la primer premisa (“Juan es mafioso”) está representada por la
letra “p”. Sin embargo la segunda premisa (“Si Juan es mafioso entonces lava dinero”)
no está representada por una letra enunciativa sino por la estructura compleja “Si p
entonces q”. Si a cada premisa debiera corresponder una letra enunciativa diferente el
argumento que estamos utilizando como ejemplificación hubiera debido escribirse:



p, q ~> s



Resulta evidente que entonces no hubiéramos podido representar la relación de
implicación que podemos intuir en el argumento original y hubiera sido imposible
mostrar que ese argumento es correcto en virtud de su estructura proposicional.




Las letras enunciativas representan proposiciones y no necesariamente premisas.
Si bien una premisa es y debe ser considerada como una proposición, su estructura
puede ser simple o compleja. Una premisa puede estar conformada por una única
proposición o por una relación entre proposiciones. Podemos, por lo tanto, distinguir los
dos tipos anteriormente mencionados: atómica y molecular.



Cualquier proposición atómica puede simbolizarse con una variable
proposicional, y esta puede tomar uno de los dos posibles valores de verdad (verdadero
o falso). Por ejemplo, sea la proposición atómica “hoy es martes” que puede
simbolizarse por p, la misma puede ser o bien verdadera o bien falsa. El valor de verdad
de tal proposición depende de si lo que ella afirma o niega se corresponde con la
realidad o no. Recuerden que la lógica no tiene como objetivo determinar si una
proposición atómica es verdadera o falsa, porque eso depende de las ciencias.



El valor de verdad de una proposición molecular dependerá del valor de las
proposiciones atómicas que la constituyen más la conectiva que las vincula.
Para determinar el valor de verdad de una proposición molecular es necesario
saber el valor de verdad que producen los conectivos al ser aplicados sobre las
fórmulas, sobre los valores de verdad de las fórmulas.



Los conectivos son funciones que a partir de valores de verdad arrojan nuevos
valores de verdad. Dichas funciones quedan expresadas en una tabla que permite
realizar el cálculo. Dichas tablas reciben el valor de tablas de definición de un conectivo
o también tabla de verdad de un conectivo.

Negación:

la negación , que es un concetivo unario, no es un conectivo que
vincule dos variables proposicionales, sino que afecta el valor de verdad de lo que está a
uno de los lados del signo, más precisamente lo que se ubica inmediatamente a la
derecha. El “no” del lenguaje natural será representado por el signo “¬”.
Así el enunciado: “Juan no estudia” se escribe en el lenguaje proposicional de la
siguiente manera:


¬ p

La negación es la conectiva que convierte un enunciado verdadero en falso, y un
enunciado falso en verdadero.



Tabla de verdad de la Negación:

Conjunción:

a veces ponemos en conjunción ciertos enunciados, es decir los
relacionamos de tal manera que concebimos que ambos ocurren a la vez. En ocasiones
se encuentra reflejado en el lenguaje natural mediante el uso de la conjunción “y” o de
la palabra “pero” como en los siguientes enunciados: “Juan se ríe mucho con los chistes
y con los tiros de gracia”, “Juan es un chupa sangre, pero como patrón es bueno”. A
veces también sirve una coma para hacerlo, como cuando damos una serie de
características de un objeto “Juan es distraído, torpe, amarrete”.
En el lenguaje del cálculo proposicional simbolizaremos la conjunción mediante
el signo “∧”. Podríamos representar ahora el enunciado que habla sobre el muy peculiar
y desagradable sentido del humor de Juan de la siguiente manera:
p ∧ q
Allí, “p” correspondería por ejemplo al enunciado “Juan se ríe con los chistes” y
“q” representaría al enunciado “Juan se ríe con los tiros de gracia”. Idéntica sería la
expresión para retratar al enunciado que intenta expresar que la condición de vida de
Juan no influye negativamente sobre las condiciones laborales con sus empleados. Claro
que es ese caso “p” y “q” representan diferentes enunciados que en el caso anterior.

La Conjunción es la conectiva que origina una proposición molecular que solo
es verdadera si ambas proposiciones que la integran son verdaderas, y falsa en los otros
casos.

Tabla de verdad de la Conjunción:

Disyunción:

otra posibilidad que nuestro lenguaje proposicional retratará será
la vinculación entre enunciados en términos de posibilidades alternativas. Utilizaremos
en este lenguaje formal la llamada disyunción inclusiva y nos referiremos a ella
simplemente como disyunción. En ella se postula una posible alternativa aunque no
queda impedido el caso de que pasen ambas cosas a la vez. En el lenguaje natural se
suele exponer esa relación mediante expresiones como “o”, “y/o”. En el lenguaje del
cálculo proposicional se expresará mediante el signo “v”. Pongamos como ejemplo el
siguiente enunciado: “Juan o camina o come chicle”. Más allá de la imposibilidad
práctica de algunas personas para realizar ambas actividades el enunciado sólo intenta
presentar una disyunción donde bien pueden ocurrir ambas cosas a la vez. La misma
podría expresarse como:
p v q

La Disyunción es la conectiva que origina una proposición molecular que solo
es falsa si ambas proposiciones que la integran son falsas, y verdadera en los otros
casos.
Tabla de verdad de la Disyunción:

Condicional:

el conectivo llamado condicional permite expresar en el lenguaje
formal la relación que se postula en el lenguaje natural con la expresión “Si ...
entonces...”. Efectivamente, como el nombre lo sugiere, un condicional no retrata sino
una relación de condición en la que se pretende que si llegara a pasar una cierta cosa,
entonces pasaría otra cierta cosa. Un ejemplo de expresiones de este tipo es el caso ya
mencionado de “Si Pepe es vampiro entonces posee un oscuro castillo en Transilvania”
Este conectivo será simbolizado con "→”. Lo que se encuentre a la izquierda del signo
del condicional será llamado antecedente y lo que se ubique a la derecha será llamado
consecuente. Ahora podremos reescribir esa expresión completamente en el lenguaje del
cálculo proposicional y quedaría de la siguiente manera:

p → q

Si bien esa relación de condición entre enunciados encuentra en el lenguaje natural
su expresión paradigmática en la frase “Si ...entonces ...”, hay que aclarar que el
lenguaje natural tiene varias formas de expresar las mismas relaciones entre enunciados,
debido a su plasticidad. Así, una simple “,” permite expresar esa relación. Véase el
siguiente ejemplo:

Si Pepe pusiera un hotel, no tendría que salir a buscar su alimento
El Condicional es el conectivo que origina una proposición molecular que solo
es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, siendo verdadera en
los restantes casos.

Tabla de verdad del Condicional:

Bicondicional:

muchas veces estamos interesados en dejar claramente
establecido que una cosa está tan estrechamente vinculada a otra que sólo ocurre una si
ocurre la otra y lo mismo a la inversa. Esa relación es la llamada relación bicondicional
y es muy usada en las matemáticas y en las disciplinas científicas y encuentra su
formulación más clara en la expresión “...si y sólo si...” y a veces por la expresión
“...sólo si...”. En el lenguaje proposicional quedará simbolizada por la doble flecha
“↔”.
Un ejemplo de enunciado que presente esa relación bicondicional entre
enunciados podría ser el siguiente: “Juan es vampiro si y sólo si muere al clavársele una
estaca en el corazón”. Ese enunciado, que tendría la equivocada consecuencia de
clasificar a todos los seres cordados como vampiros, se expresaría en el lenguaje

proposicional de la siguiente manera:
p ↔ q

Esta conectiva origina una proposición molecular que es verdadera cuando sus
dos componentes tienen el mismo valor de verdad, y falsa si uno de sus componentes es
verdadero y el otro falso.
Tabla de verdad del Bicondicional: