* Identificar su estructura
* Identificar operadores
* Simbolizar proposiciones atómicas
* Escribir la fórmula lógica
-Ej.: Si Juan llega temprano y Pablo llega tarde, pido dos pizzas a domicilio
p= Juan llega temprano
q= Pablo llega tarde
r= pido dos pizzas a domicilio
(p Ù q) → r
VIDEO FORMALIZACION DE PROPOSICIONES
miércoles, 26 de mayo de 2010
FUNCIONES VERITATIVAS Y TABLAS DE LA VERDAD
La lógica proposicional se utiliza para determinar la validez de argumentos, es
decir, los conectivos tratan de expresar ciertas formas típicas que el lenguaje natural utiliza para relacionar proposiciones. En tanto el cálculo proposicional es un lenguaje artificial, formal, completamente definido, en el se eliminan las ambiguedades expresivas del lenguaje natural (formas iguales de expresar relaciones diferentes entre enunciades), así como también se elimina la pluralidad de formas de expresar lo mismo
mediante formas diferentes que posee el lenguaje natural.
Es necesario, también, resaltar que no ocurre que necesariamente a cada premisa
le corresponda una letra enunciativa.
Por ejemplo, supongamos que tenemos el siguiente argumento:
Juan es mafioso
Si Juan es mafioso entonces lava dinero.
Juan lava dinero
P
p → q
q
Como vemos, la primer premisa (“Juan es mafioso”) está representada por la
letra “p”. Sin embargo la segunda premisa (“Si Juan es mafioso entonces lava dinero”)
no está representada por una letra enunciativa sino por la estructura compleja “Si p
entonces q”. Si a cada premisa debiera corresponder una letra enunciativa diferente el
argumento que estamos utilizando como ejemplificación hubiera debido escribirse:
p, q ~> s
Resulta evidente que entonces no hubiéramos podido representar la relación de
implicación que podemos intuir en el argumento original y hubiera sido imposible
mostrar que ese argumento es correcto en virtud de su estructura proposicional.
Las letras enunciativas representan proposiciones y no necesariamente premisas.
Si bien una premisa es y debe ser considerada como una proposición, su estructura
puede ser simple o compleja. Una premisa puede estar conformada por una única
proposición o por una relación entre proposiciones. Podemos, por lo tanto, distinguir los
dos tipos anteriormente mencionados: atómica y molecular.
Cualquier proposición atómica puede simbolizarse con una variable
proposicional, y esta puede tomar uno de los dos posibles valores de verdad (verdadero
o falso). Por ejemplo, sea la proposición atómica “hoy es martes” que puede
simbolizarse por p, la misma puede ser o bien verdadera o bien falsa. El valor de verdad
de tal proposición depende de si lo que ella afirma o niega se corresponde con la
realidad o no. Recuerden que la lógica no tiene como objetivo determinar si una
proposición atómica es verdadera o falsa, porque eso depende de las ciencias.
El valor de verdad de una proposición molecular dependerá del valor de las
proposiciones atómicas que la constituyen más la conectiva que las vincula.
Para determinar el valor de verdad de una proposición molecular es necesario
saber el valor de verdad que producen los conectivos al ser aplicados sobre las
fórmulas, sobre los valores de verdad de las fórmulas.
Los conectivos son funciones que a partir de valores de verdad arrojan nuevos
valores de verdad. Dichas funciones quedan expresadas en una tabla que permite
realizar el cálculo. Dichas tablas reciben el valor de tablas de definición de un conectivo
o también tabla de verdad de un conectivo.
la negación , que es un concetivo unario, no es un conectivo que
vincule dos variables proposicionales, sino que afecta el valor de verdad de lo que está a
uno de los lados del signo, más precisamente lo que se ubica inmediatamente a la
derecha. El “no” del lenguaje natural será representado por el signo “¬”.
Así el enunciado: “Juan no estudia” se escribe en el lenguaje proposicional de la
siguiente manera:
¬ p
La negación es la conectiva que convierte un enunciado verdadero en falso, y un
enunciado falso en verdadero.
Tabla de verdad de la Negación:
decir, los conectivos tratan de expresar ciertas formas típicas que el lenguaje natural utiliza para relacionar proposiciones. En tanto el cálculo proposicional es un lenguaje artificial, formal, completamente definido, en el se eliminan las ambiguedades expresivas del lenguaje natural (formas iguales de expresar relaciones diferentes entre enunciades), así como también se elimina la pluralidad de formas de expresar lo mismo
mediante formas diferentes que posee el lenguaje natural.
Es necesario, también, resaltar que no ocurre que necesariamente a cada premisa
le corresponda una letra enunciativa.
Por ejemplo, supongamos que tenemos el siguiente argumento:
Juan es mafioso
Si Juan es mafioso entonces lava dinero.
Juan lava dinero
P
p → q
q
Como vemos, la primer premisa (“Juan es mafioso”) está representada por la
letra “p”. Sin embargo la segunda premisa (“Si Juan es mafioso entonces lava dinero”)
no está representada por una letra enunciativa sino por la estructura compleja “Si p
entonces q”. Si a cada premisa debiera corresponder una letra enunciativa diferente el
argumento que estamos utilizando como ejemplificación hubiera debido escribirse:
p, q ~> s
Resulta evidente que entonces no hubiéramos podido representar la relación de
implicación que podemos intuir en el argumento original y hubiera sido imposible
mostrar que ese argumento es correcto en virtud de su estructura proposicional.
Las letras enunciativas representan proposiciones y no necesariamente premisas.
Si bien una premisa es y debe ser considerada como una proposición, su estructura
puede ser simple o compleja. Una premisa puede estar conformada por una única
proposición o por una relación entre proposiciones. Podemos, por lo tanto, distinguir los
dos tipos anteriormente mencionados: atómica y molecular.
Cualquier proposición atómica puede simbolizarse con una variable
proposicional, y esta puede tomar uno de los dos posibles valores de verdad (verdadero
o falso). Por ejemplo, sea la proposición atómica “hoy es martes” que puede
simbolizarse por p, la misma puede ser o bien verdadera o bien falsa. El valor de verdad
de tal proposición depende de si lo que ella afirma o niega se corresponde con la
realidad o no. Recuerden que la lógica no tiene como objetivo determinar si una
proposición atómica es verdadera o falsa, porque eso depende de las ciencias.
El valor de verdad de una proposición molecular dependerá del valor de las
proposiciones atómicas que la constituyen más la conectiva que las vincula.
Para determinar el valor de verdad de una proposición molecular es necesario
saber el valor de verdad que producen los conectivos al ser aplicados sobre las
fórmulas, sobre los valores de verdad de las fórmulas.
Los conectivos son funciones que a partir de valores de verdad arrojan nuevos
valores de verdad. Dichas funciones quedan expresadas en una tabla que permite
realizar el cálculo. Dichas tablas reciben el valor de tablas de definición de un conectivo
o también tabla de verdad de un conectivo.
Negación:
la negación , que es un concetivo unario, no es un conectivo que
vincule dos variables proposicionales, sino que afecta el valor de verdad de lo que está a
uno de los lados del signo, más precisamente lo que se ubica inmediatamente a la
derecha. El “no” del lenguaje natural será representado por el signo “¬”.
Así el enunciado: “Juan no estudia” se escribe en el lenguaje proposicional de la
siguiente manera:
¬ p
La negación es la conectiva que convierte un enunciado verdadero en falso, y un
enunciado falso en verdadero.
Tabla de verdad de la Negación:
Conjunción:
a veces ponemos en conjunción ciertos enunciados, es decir los
relacionamos de tal manera que concebimos que ambos ocurren a la vez. En ocasiones
se encuentra reflejado en el lenguaje natural mediante el uso de la conjunción “y” o de
la palabra “pero” como en los siguientes enunciados: “Juan se ríe mucho con los chistes
y con los tiros de gracia”, “Juan es un chupa sangre, pero como patrón es bueno”. A
veces también sirve una coma para hacerlo, como cuando damos una serie de
características de un objeto “Juan es distraído, torpe, amarrete”.
En el lenguaje del cálculo proposicional simbolizaremos la conjunción mediante
el signo “∧”. Podríamos representar ahora el enunciado que habla sobre el muy peculiar
y desagradable sentido del humor de Juan de la siguiente manera:
p ∧ q
Allí, “p” correspondería por ejemplo al enunciado “Juan se ríe con los chistes” y
“q” representaría al enunciado “Juan se ríe con los tiros de gracia”. Idéntica sería la
expresión para retratar al enunciado que intenta expresar que la condición de vida de
Juan no influye negativamente sobre las condiciones laborales con sus empleados. Claro
que es ese caso “p” y “q” representan diferentes enunciados que en el caso anterior.
La Conjunción es la conectiva que origina una proposición molecular que solo
es verdadera si ambas proposiciones que la integran son verdaderas, y falsa en los otros
casos.
Tabla de verdad de la Conjunción:
Disyunción:
otra posibilidad que nuestro lenguaje proposicional retratará será
la vinculación entre enunciados en términos de posibilidades alternativas. Utilizaremos
en este lenguaje formal la llamada disyunción inclusiva y nos referiremos a ella
simplemente como disyunción. En ella se postula una posible alternativa aunque no
queda impedido el caso de que pasen ambas cosas a la vez. En el lenguaje natural se
suele exponer esa relación mediante expresiones como “o”, “y/o”. En el lenguaje del
cálculo proposicional se expresará mediante el signo “v”. Pongamos como ejemplo el
siguiente enunciado: “Juan o camina o come chicle”. Más allá de la imposibilidad
práctica de algunas personas para realizar ambas actividades el enunciado sólo intenta
presentar una disyunción donde bien pueden ocurrir ambas cosas a la vez. La misma
podría expresarse como:
p v q
La Disyunción es la conectiva que origina una proposición molecular que solo
es falsa si ambas proposiciones que la integran son falsas, y verdadera en los otros
casos.
Tabla de verdad de la Disyunción:
Condicional:
el conectivo llamado condicional permite expresar en el lenguaje
formal la relación que se postula en el lenguaje natural con la expresión “Si ...
entonces...”. Efectivamente, como el nombre lo sugiere, un condicional no retrata sino
una relación de condición en la que se pretende que si llegara a pasar una cierta cosa,
entonces pasaría otra cierta cosa. Un ejemplo de expresiones de este tipo es el caso ya
mencionado de “Si Pepe es vampiro entonces posee un oscuro castillo en Transilvania”
Este conectivo será simbolizado con "→”. Lo que se encuentre a la izquierda del signo
del condicional será llamado antecedente y lo que se ubique a la derecha será llamado
consecuente. Ahora podremos reescribir esa expresión completamente en el lenguaje del
cálculo proposicional y quedaría de la siguiente manera:
p → q
Si bien esa relación de condición entre enunciados encuentra en el lenguaje natural
su expresión paradigmática en la frase “Si ...entonces ...”, hay que aclarar que el
lenguaje natural tiene varias formas de expresar las mismas relaciones entre enunciados,
debido a su plasticidad. Así, una simple “,” permite expresar esa relación. Véase el
siguiente ejemplo:
Si Pepe pusiera un hotel, no tendría que salir a buscar su alimento
El Condicional es el conectivo que origina una proposición molecular que solo
es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, siendo verdadera en
los restantes casos.
Tabla de verdad del Condicional:
Bicondicional:
muchas veces estamos interesados en dejar claramente
establecido que una cosa está tan estrechamente vinculada a otra que sólo ocurre una si
ocurre la otra y lo mismo a la inversa. Esa relación es la llamada relación bicondicional
y es muy usada en las matemáticas y en las disciplinas científicas y encuentra su
formulación más clara en la expresión “...si y sólo si...” y a veces por la expresión
“...sólo si...”. En el lenguaje proposicional quedará simbolizada por la doble flecha
“↔”.
Un ejemplo de enunciado que presente esa relación bicondicional entre
enunciados podría ser el siguiente: “Juan es vampiro si y sólo si muere al clavársele una
estaca en el corazón”. Ese enunciado, que tendría la equivocada consecuencia de
clasificar a todos los seres cordados como vampiros, se expresaría en el lenguaje
proposicional de la siguiente manera:
p ↔ q
Esta conectiva origina una proposición molecular que es verdadera cuando sus
dos componentes tienen el mismo valor de verdad, y falsa si uno de sus componentes es
verdadero y el otro falso.
Tabla de verdad del Bicondicional:
CLASIFICACION DE LAS PROPOSICIONES MOLECULARES
Las proposiciones moleculares, segun la el tipo de conjuncion que llevan, se clasifican en conjuntivas, disyuntivas, condicionales, bicondicionales,; si llevan el adverbio de negacion 'no'se llaman negativas.
(…………….) y (…………….)
Las líneas que están entre los paréntesis pueden sustituirse escribiendo cualesquiera proposiciones simples o compuestas, y siempre se obtendrá una proposición conjuntiva. Cabe destacar que, desde el punto de vista lógico, no interesa el contenido significativo de verdad o falsedad de la proposición que se escriba.
Ejemplos:
· (La Tierra es un planeta) y
· (el Sol es una estrella).
En este ejemplo, las proposiciones que están entre los paréntesis sustituyen a las respectivas líneas; y lo que se tiene es una proposición conjuntiva.
· (Carlos es un abogado o un ingeniero), además (es un periodista).
En este ejemplo, la línea del primer paréntesis ha sido sustituida por una proposición compuesta, y la línea del segundo paréntesis por una proposición simple.
Es destacable en este ejemplo observar, que los dos paréntesis están unidos por el término además, lo que nos indica que hay también otros términos en el lenguaje ordinario que se pueden usar como conjunciones, entre otros se tiene: sin embargo, no obstante, pero, aunque, a la vez, etc, etc.
Las proposiciones que están unidas por "o" se llaman disyunción de dos proposiciones.
Su forma lógica es:
(-------------- ) O (-----------------------------)
o también se le puede añadir “o” al principio, así
O (----------------) O (--------------------------------)
Sustituyendo las líneas entre paréntesis pueden escribirse también cualquiera proposición simple o compuesta, y se obtendrá siempre una proposición disyuntiva.
Ejemplos:
* (La secretaria del director del colegio habla inglés) o (habla francés)
* O (nieva y hace frío), o (hay lluvia y tormenta)
Como puede apreciarse en la sustitución respectiva, el ejemplo
es la disyunción de dos proposiciones simples, y el ejemplo
es la disyunción de proposiciones compuestas.
La conectiva condicional es "si. . . entonces. . .". La proposición que está entre "si" y "entonces" se llama antecedente, y la proposición que sigue a "entonces" se llama consecuente. Su forma lógica es:
Si(----------------------------------------------) entonces (----------------------------------------------)
Ejemplos:
1) Si (Pedro es un ciudadano) entonces (votará en las elecciones).
En esta proposición condicional, el antecedente es "Pedro es un ciudadano" y el consecuente es "votará en las elecciones", ambas proposiciones son simples que sustituyen cada una de las líneas de los paréntesis.
Si (Luís obtiene una beca o viaja al extranjero), entonces (no tendrá problemas económicos). En este ejemplo, tanto el antecedente como el consecuente están constituidas por proposiciones compuestas.
Cuando las proposiciones están unidas por "si y solo si" se llama proposición bicondicional. Su forma lógica es:
( ) si y solo si ( )
Ejemplos: 1) (Un número es divisible por dos), si y sólo si (es un número par).
(Luis no viajará al extranjero), si y sólo si (o no obtiene su visa o no obtiene el permiso de su trabajo). La sustitución respectiva de las líneas entre paréntesis es: en 1) con proposiciones simples, y en 2) con proposiciones compuestas.
No(— )
O también usando la frase "no es el caso que", como sigue:
No es el caso que ( ),
donde la frase "no es el caso que" generalmente se emplea para negar proposiciones compuestas.
Ejemplos
1) Venezuela no limita con el Perú.
Nótese en este ejemplo que la negación "no", no cumple con la forma lógica, porque cuando se niega una proposición simple "no" va antes del verbo.
No es el caso que (Luis estudie abogacía y María sea periodista).
En este ejemplo sí se puede observar, como la línea entre paréntesis ha sido sustituida por una proposición compuesta conjuntiva.
1.CONJUNCIÓNLa unión de dos proposiciones por "y" se llama conjunción de dos proposiciones. Su forma lógica se obtiene escribiendo únicamente la conectiva lógica y omitiendo las proposiciones simples. Así:
(…………….) y (…………….)
Las líneas que están entre los paréntesis pueden sustituirse escribiendo cualesquiera proposiciones simples o compuestas, y siempre se obtendrá una proposición conjuntiva. Cabe destacar que, desde el punto de vista lógico, no interesa el contenido significativo de verdad o falsedad de la proposición que se escriba.
Ejemplos:
· (La Tierra es un planeta) y
· (el Sol es una estrella).
En este ejemplo, las proposiciones que están entre los paréntesis sustituyen a las respectivas líneas; y lo que se tiene es una proposición conjuntiva.
· (Carlos es un abogado o un ingeniero), además (es un periodista).
En este ejemplo, la línea del primer paréntesis ha sido sustituida por una proposición compuesta, y la línea del segundo paréntesis por una proposición simple.
Es destacable en este ejemplo observar, que los dos paréntesis están unidos por el término además, lo que nos indica que hay también otros términos en el lenguaje ordinario que se pueden usar como conjunciones, entre otros se tiene: sin embargo, no obstante, pero, aunque, a la vez, etc, etc.
2.DISYUNCIÓN
Las proposiciones que están unidas por "o" se llaman disyunción de dos proposiciones.
Su forma lógica es:
(-------------- ) O (-----------------------------)
o también se le puede añadir “o” al principio, así
O (----------------) O (--------------------------------)
Sustituyendo las líneas entre paréntesis pueden escribirse también cualquiera proposición simple o compuesta, y se obtendrá siempre una proposición disyuntiva.
Ejemplos:
* (La secretaria del director del colegio habla inglés) o (habla francés)
* O (nieva y hace frío), o (hay lluvia y tormenta)
Como puede apreciarse en la sustitución respectiva, el ejemplo
es la disyunción de dos proposiciones simples, y el ejemplo
es la disyunción de proposiciones compuestas.
3.— CONDICIONAL
La conectiva condicional es "si. . . entonces. . .". La proposición que está entre "si" y "entonces" se llama antecedente, y la proposición que sigue a "entonces" se llama consecuente. Su forma lógica es:
Si(----------------------------------------------) entonces (----------------------------------------------)
Ejemplos:
1) Si (Pedro es un ciudadano) entonces (votará en las elecciones).
En esta proposición condicional, el antecedente es "Pedro es un ciudadano" y el consecuente es "votará en las elecciones", ambas proposiciones son simples que sustituyen cada una de las líneas de los paréntesis.
Si (Luís obtiene una beca o viaja al extranjero), entonces (no tendrá problemas económicos). En este ejemplo, tanto el antecedente como el consecuente están constituidas por proposiciones compuestas.
4.— BICONDICIONAL
Cuando las proposiciones están unidas por "si y solo si" se llama proposición bicondicional. Su forma lógica es:
( ) si y solo si ( )
Ejemplos: 1) (Un número es divisible por dos), si y sólo si (es un número par).
(Luis no viajará al extranjero), si y sólo si (o no obtiene su visa o no obtiene el permiso de su trabajo). La sustitución respectiva de las líneas entre paréntesis es: en 1) con proposiciones simples, y en 2) con proposiciones compuestas.
5.— NEGACIÓNLa negación "no" es otro de los términos de enlace, y se le denomina así, porque en lógica actúa separada de la proposición. Las proposiciones que llevan "no" se llaman proposiciones negativas. La forma lógica de la proposición negativa será:
No(— )
O también usando la frase "no es el caso que", como sigue:
No es el caso que ( ),
donde la frase "no es el caso que" generalmente se emplea para negar proposiciones compuestas.
Ejemplos
1) Venezuela no limita con el Perú.
Nótese en este ejemplo que la negación "no", no cumple con la forma lógica, porque cuando se niega una proposición simple "no" va antes del verbo.
No es el caso que (Luis estudie abogacía y María sea periodista).
En este ejemplo sí se puede observar, como la línea entre paréntesis ha sido sustituida por una proposición compuesta conjuntiva.
Lenguaje Formalizado
El lenguaje formalizado es un lenguaje sometido a unas reglas fijas de formación de expresiones y significados. Este es especialmente notable e importante en la lógica y las matemáticas.
Símbolos:
Símbolos:
-Variables proposicionales
-Operadores lógicos
-Operadores lógicos
*FBF: No presenta ambiguedades, en cualquier orden da los mismos resultados.
*FMF: Presenta ambiguedades y su resultado depende del orden de solución.
CLASES DE PROPOSICIONES
Estas pueden ser de dos clases; atómica y moleculares.
Las proposiciones atomicas(simples o elementales),carecen de conjunciones gramaticalestipicas o conectivas ('y','o,'si...entonces', 'si y solo si') o del verbo de negacion 'no', Ejemplos;
a)San marcos es la universidad mas antigua de America.
b)La logica es distinta a la matematica
Si establecemos conexiones lógicas entre varias proposiciones según unas reglas perfectamente establecidas en sus elementos simbólicos y definidas como funciones de verdad, construiremos proposiciones moleculares o compuestas.
Así la proposición “Si llueve entonces el suelo está mojado”, enlaza la proposición “llueve” con la proposición “el suelo está mojado”, bajo el aspecto de función de verdad “si…… entonces…..”.
Las proposiciones atomicas(simples o elementales),carecen de conjunciones gramaticalestipicas o conectivas ('y','o,'si...entonces', 'si y solo si') o del verbo de negacion 'no', Ejemplos;
a)San marcos es la universidad mas antigua de America.
b)La logica es distinta a la matematica
Si establecemos conexiones lógicas entre varias proposiciones según unas reglas perfectamente establecidas en sus elementos simbólicos y definidas como funciones de verdad, construiremos proposiciones moleculares o compuestas.
Así la proposición “Si llueve entonces el suelo está mojado”, enlaza la proposición “llueve” con la proposición “el suelo está mojado”, bajo el aspecto de función de verdad “si…… entonces…..”.
martes, 25 de mayo de 2010
EXPRESIONES LINGUISTICAS QUE NO SON PROPOSICIONES
TODAS las proposiciones son oraciones, pero no todas las oraciones son proposiciones. En efecto, las oraciones interrogativas, las exortativas o imperativas, las desiderativasy las exclamativas o admirativas .No son proposiciones por que por que ninguna de ellas afirma o niega algo y, por lo tanto, no son verdaderas ni falsas. Asimismo , las oraciones duditativas, asi como los juicios de valor -no obstanteafirmar algo - no constituyen ejemplos de prposiciones, pues su verdad o falsedad no pueden ser establecidas. Ejemplos:
a) el cuadrilatero es un poligono de cuatro lados
b)¿que es la logica?
c)debemos honrar a nuestros heroes
d)Sea en hora buena
e)¡por jupiter!
a) el cuadrilatero es un poligono de cuatro lados
b)¿que es la logica?
c)debemos honrar a nuestros heroes
d)Sea en hora buena
e)¡por jupiter!
Subcampos de la lógica matemática
La logica matemática suele dividirse en cuatro subcampos:
1. Teoría de modelos
2. Teoría de la demostración
3. Teoría de conjuntos
4. Teoría de la recursión
1. Teoría de modelos: Es el estudio de la representación de conceptos matemáticos en terminos de la teoría de conjuntos, o el estudio de modelos que subyacen en sistemas matemáticos. Supone que hay algunos objetos matemáticos preexistentes y hace preguntas acerca de cómo o qué puede ser probado dados: los objetos, algunas operaciones o relaciones entre los objetos y un conjunto de axiomas.
La independencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo de otros axiomas de la teoría de conjuntos son los dos resultados más famosos de la teoría de modelos.
Un ejemplo de los conceptos de la teoría de modelos es la teoría de los números reales. Comenzamos con un conjunto de individuos, donde cada individuo es un número real y un conjunto de relaciones y/o funciones como { ×, +, −, ., 0, 1 }. Si hacemos una pregunta "∃ y (y × y = 1 + 1)" en este lenguaje, entonces está claro que la sentencia es verdadera para reales, ya que existe tal número real y, a saber la raíz cuadrada de 2. Para los números racionales, sin embargo, la sentencia es falsa. Una proposición similar, "∃ y (y × y = 0 − 1)", es falsa en los reales, pero es verdadera en los números complejos, donde i × i = 0 − 1.
La teoría de modelos se preocupa de lo que se puede probar con sistemas matemáticos dados, y cómo estos sistemas se relacionan entre sí. Se preocupa particularmente de qué sucede cuando tratamos de extender algún sistema agregando nuevos axiomas.
2. Teoría de la demostración: Tambien llamada teoría de la prueba, es una rama que trata a las demostraciones como objetos matemáticos, facilitando su análisis mediante técnicas matemáticas. Las demostraciones suelen presentarse como estructuras de datos inductivamente definidas que se construyen de acuerdo con los axiomas y reglas de inferencia de los sistemas lógicos. En este sentido, la teoría de la demostración se ocupa de la sintaxis, en contraste con la teoría de modelos, que trata con la semántica. Junto con la teoría de modelos, la teoría de conjuntos axiomática y la teoría de la recursión, la teoría de la demostración es uno de los "cuatro pilares" de los fundamentos de las matemáticas.
3. Teoría de conjuntos: Es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.
El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor.
4. Teoría de la recursión: Es la parte de la computación que estudia los problemas de decisión que pueden ser resueltos con un algoritmo.
1. Teoría de modelos
2. Teoría de la demostración
3. Teoría de conjuntos
4. Teoría de la recursión
1. Teoría de modelos: Es el estudio de la representación de conceptos matemáticos en terminos de la teoría de conjuntos, o el estudio de modelos que subyacen en sistemas matemáticos. Supone que hay algunos objetos matemáticos preexistentes y hace preguntas acerca de cómo o qué puede ser probado dados: los objetos, algunas operaciones o relaciones entre los objetos y un conjunto de axiomas.
La independencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo de otros axiomas de la teoría de conjuntos son los dos resultados más famosos de la teoría de modelos.
Un ejemplo de los conceptos de la teoría de modelos es la teoría de los números reales. Comenzamos con un conjunto de individuos, donde cada individuo es un número real y un conjunto de relaciones y/o funciones como { ×, +, −, ., 0, 1 }. Si hacemos una pregunta "∃ y (y × y = 1 + 1)" en este lenguaje, entonces está claro que la sentencia es verdadera para reales, ya que existe tal número real y, a saber la raíz cuadrada de 2. Para los números racionales, sin embargo, la sentencia es falsa. Una proposición similar, "∃ y (y × y = 0 − 1)", es falsa en los reales, pero es verdadera en los números complejos, donde i × i = 0 − 1.
La teoría de modelos se preocupa de lo que se puede probar con sistemas matemáticos dados, y cómo estos sistemas se relacionan entre sí. Se preocupa particularmente de qué sucede cuando tratamos de extender algún sistema agregando nuevos axiomas.
2. Teoría de la demostración: Tambien llamada teoría de la prueba, es una rama que trata a las demostraciones como objetos matemáticos, facilitando su análisis mediante técnicas matemáticas. Las demostraciones suelen presentarse como estructuras de datos inductivamente definidas que se construyen de acuerdo con los axiomas y reglas de inferencia de los sistemas lógicos. En este sentido, la teoría de la demostración se ocupa de la sintaxis, en contraste con la teoría de modelos, que trata con la semántica. Junto con la teoría de modelos, la teoría de conjuntos axiomática y la teoría de la recursión, la teoría de la demostración es uno de los "cuatro pilares" de los fundamentos de las matemáticas.
3. Teoría de conjuntos: Es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.
El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor.
4. Teoría de la recursión: Es la parte de la computación que estudia los problemas de decisión que pueden ser resueltos con un algoritmo.
LA LOGICA PROPOSICIONAL
La lógica de proposiciones es la parte mas elemental de la lógica moderna o matemática. En esta primera parte de la lógica, las inferencias se construyen sin tomar en cuenta las estructuras internas de las proposiciones. Solo se examinan las relaciones lógicas existentes entre proposiciones considerable como un todo, y de y de ellas solo se toma en cuenta su propiedad de ser verdaderas o falsas. Por esta razón emplea solo variables proposicionales.
La lógica de proposiciones estudia las relaciones formales extraproposicionales , es decir, aquellas relaciones existentes entre proposiciones y no las que se dan dentro de ellas.Se la denomina, también, lógica de proposiciones sin analizar. Dispone de medios de análisis formal de las inferencias (lenguaje simbólico y métodos específicos), y la validez de estas se determinan por las relaciones entre proposiciones considerable Como un todo, sin penetrar en su estructura interna.
¿Qué es la lógica matemática?
La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio en otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática guarda estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.
Esta estudia los sistemas formales en relación con el modo en que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos, tales como: conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica. La lógica matemática no es "la lógica de las matemáticas" sino "la matemática de la lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
Esta estudia los sistemas formales en relación con el modo en que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos, tales como: conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica. La lógica matemática no es "la lógica de las matemáticas" sino "la matemática de la lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)
