TODAS las proposiciones son oraciones, pero no todas las oraciones son proposiciones. En efecto, las oraciones interrogativas, las exortativas o imperativas, las desiderativasy las exclamativas o admirativas .No son proposiciones por que por que ninguna de ellas afirma o niega algo y, por lo tanto, no son verdaderas ni falsas. Asimismo , las oraciones duditativas, asi como los juicios de valor -no obstanteafirmar algo - no constituyen ejemplos de prposiciones, pues su verdad o falsedad no pueden ser establecidas. Ejemplos:
a) el cuadrilatero es un poligono de cuatro lados
b)¿que es la logica?
c)debemos honrar a nuestros heroes
d)Sea en hora buena
e)¡por jupiter!
martes, 25 de mayo de 2010
Subcampos de la lógica matemática
La logica matemática suele dividirse en cuatro subcampos:
1. Teoría de modelos
2. Teoría de la demostración
3. Teoría de conjuntos
4. Teoría de la recursión
1. Teoría de modelos: Es el estudio de la representación de conceptos matemáticos en terminos de la teoría de conjuntos, o el estudio de modelos que subyacen en sistemas matemáticos. Supone que hay algunos objetos matemáticos preexistentes y hace preguntas acerca de cómo o qué puede ser probado dados: los objetos, algunas operaciones o relaciones entre los objetos y un conjunto de axiomas.
La independencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo de otros axiomas de la teoría de conjuntos son los dos resultados más famosos de la teoría de modelos.
Un ejemplo de los conceptos de la teoría de modelos es la teoría de los números reales. Comenzamos con un conjunto de individuos, donde cada individuo es un número real y un conjunto de relaciones y/o funciones como { ×, +, −, ., 0, 1 }. Si hacemos una pregunta "∃ y (y × y = 1 + 1)" en este lenguaje, entonces está claro que la sentencia es verdadera para reales, ya que existe tal número real y, a saber la raíz cuadrada de 2. Para los números racionales, sin embargo, la sentencia es falsa. Una proposición similar, "∃ y (y × y = 0 − 1)", es falsa en los reales, pero es verdadera en los números complejos, donde i × i = 0 − 1.
La teoría de modelos se preocupa de lo que se puede probar con sistemas matemáticos dados, y cómo estos sistemas se relacionan entre sí. Se preocupa particularmente de qué sucede cuando tratamos de extender algún sistema agregando nuevos axiomas.
2. Teoría de la demostración: Tambien llamada teoría de la prueba, es una rama que trata a las demostraciones como objetos matemáticos, facilitando su análisis mediante técnicas matemáticas. Las demostraciones suelen presentarse como estructuras de datos inductivamente definidas que se construyen de acuerdo con los axiomas y reglas de inferencia de los sistemas lógicos. En este sentido, la teoría de la demostración se ocupa de la sintaxis, en contraste con la teoría de modelos, que trata con la semántica. Junto con la teoría de modelos, la teoría de conjuntos axiomática y la teoría de la recursión, la teoría de la demostración es uno de los "cuatro pilares" de los fundamentos de las matemáticas.
3. Teoría de conjuntos: Es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.
El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor.
4. Teoría de la recursión: Es la parte de la computación que estudia los problemas de decisión que pueden ser resueltos con un algoritmo.
1. Teoría de modelos
2. Teoría de la demostración
3. Teoría de conjuntos
4. Teoría de la recursión
1. Teoría de modelos: Es el estudio de la representación de conceptos matemáticos en terminos de la teoría de conjuntos, o el estudio de modelos que subyacen en sistemas matemáticos. Supone que hay algunos objetos matemáticos preexistentes y hace preguntas acerca de cómo o qué puede ser probado dados: los objetos, algunas operaciones o relaciones entre los objetos y un conjunto de axiomas.
La independencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo de otros axiomas de la teoría de conjuntos son los dos resultados más famosos de la teoría de modelos.
Un ejemplo de los conceptos de la teoría de modelos es la teoría de los números reales. Comenzamos con un conjunto de individuos, donde cada individuo es un número real y un conjunto de relaciones y/o funciones como { ×, +, −, ., 0, 1 }. Si hacemos una pregunta "∃ y (y × y = 1 + 1)" en este lenguaje, entonces está claro que la sentencia es verdadera para reales, ya que existe tal número real y, a saber la raíz cuadrada de 2. Para los números racionales, sin embargo, la sentencia es falsa. Una proposición similar, "∃ y (y × y = 0 − 1)", es falsa en los reales, pero es verdadera en los números complejos, donde i × i = 0 − 1.
La teoría de modelos se preocupa de lo que se puede probar con sistemas matemáticos dados, y cómo estos sistemas se relacionan entre sí. Se preocupa particularmente de qué sucede cuando tratamos de extender algún sistema agregando nuevos axiomas.
2. Teoría de la demostración: Tambien llamada teoría de la prueba, es una rama que trata a las demostraciones como objetos matemáticos, facilitando su análisis mediante técnicas matemáticas. Las demostraciones suelen presentarse como estructuras de datos inductivamente definidas que se construyen de acuerdo con los axiomas y reglas de inferencia de los sistemas lógicos. En este sentido, la teoría de la demostración se ocupa de la sintaxis, en contraste con la teoría de modelos, que trata con la semántica. Junto con la teoría de modelos, la teoría de conjuntos axiomática y la teoría de la recursión, la teoría de la demostración es uno de los "cuatro pilares" de los fundamentos de las matemáticas.
3. Teoría de conjuntos: Es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.
El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor.
4. Teoría de la recursión: Es la parte de la computación que estudia los problemas de decisión que pueden ser resueltos con un algoritmo.
LA LOGICA PROPOSICIONAL
La lógica de proposiciones es la parte mas elemental de la lógica moderna o matemática. En esta primera parte de la lógica, las inferencias se construyen sin tomar en cuenta las estructuras internas de las proposiciones. Solo se examinan las relaciones lógicas existentes entre proposiciones considerable como un todo, y de y de ellas solo se toma en cuenta su propiedad de ser verdaderas o falsas. Por esta razón emplea solo variables proposicionales.
La lógica de proposiciones estudia las relaciones formales extraproposicionales , es decir, aquellas relaciones existentes entre proposiciones y no las que se dan dentro de ellas.Se la denomina, también, lógica de proposiciones sin analizar. Dispone de medios de análisis formal de las inferencias (lenguaje simbólico y métodos específicos), y la validez de estas se determinan por las relaciones entre proposiciones considerable Como un todo, sin penetrar en su estructura interna.
¿Qué es la lógica matemática?
La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio en otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática guarda estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.
Esta estudia los sistemas formales en relación con el modo en que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos, tales como: conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica. La lógica matemática no es "la lógica de las matemáticas" sino "la matemática de la lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
Esta estudia los sistemas formales en relación con el modo en que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos, tales como: conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica. La lógica matemática no es "la lógica de las matemáticas" sino "la matemática de la lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
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